Calculateur de séries de Fourier en ligne

Ce calculateur vous permettra de calculer la décomposition d'une fonction en séries de Fourier en ligne jusqu'à l'ordre 4 . Vous avez juste à renseigner la fonction voulue, l'intervalle de décomposition et l'ordre de la décomposition en séries de Fourier. Le décomposition ainsi que sa représentation graphique jusqu'a l'ordre 4 seront affichés ci-dessous.

Veuillez saisir la fonction f(x)

Résultat

Cliquez sur la fonction pour calculer sa décomposition en séries de Fourier. $$x,\quad ordre\quad 4\quad sur\quad[-\pi,\pi] $$
$$x^3,\quad ordre\quad 4\quad sur\quad[-\pi,\pi]$$

En mathématiques,on appelle série de Fourier tout expression qui s'écrit sous la forme: $$ A_0 + \sum_{n = 1}^{\infty} (A_n\cos(nx) + B_n\sin(nx))$$ Parfois, on parle aussi des polynomes de Fourier ou polynomes trigonométriques qui s'écrivent sous la forme: $$ F_n(x) = a_0 + \Big(a_1\cos(x) +b_1\sin(x)\Big)+ \cdots + \Big(a_n\cos(nx) + b_n\sin(nx)\Big)$$ ce qui est équivalent à $$ F_n(x) = a_0 + \sum_{k= 1}^{k=n} \Big(a_k\cos(kx) + b_k\sin(kx)\Big)$$ où ai tel que $i∈\{1,\cdots,n\}$sont les coefficients de Fn(x). Tout les polynomes de Fourier sont $2\pi-$ périodiques.

Supposons qu'on veut trouver la décomposition en séries de Fourier de $$f(x) = x, \;\;\; -\pi \leq x \leq \pi$$ Evidemment, cette fonction est impaire.Ce qui veut dire que tout les an sont nuls. Il nous reste donc à chercher les coéfficients bn. $$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \sin(nx)dx =\frac{1}{\pi}\left[\frac{x\cos(nx)}{n} + \frac{\sin(nx)}{n^2}\right]^{\pi}_{-\pi}$$ Ce qui nous donne : $$b_n = -\frac{2}{n}\cos(n\pi) = \frac{2}{n}(-1)^{n+1}$$ On retrouvera alors finalement : $$ f(x) \sim 2\left(\sin(x) - \frac{\sin(2x)}{2} + \frac{\sin(3x)}{3} ....\right)$$ Pour simuler cette décomposition: $x,\quad ordre\quad 4\quad sur\quad[-\pi,\pi]$