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$$\\cos x\sin x,\quad pour\quad -1 < x < 2$$
Il arrive que l’on ait à intégrer un produit de fonctions. Le produit de primitives n’est pas une primitive du
produit. Plus précisément, pour deux fonctions u et v dérivables, on a : $ (uv)'=u'v+uv'$
On en déduit la formule d’intégration par parties : Soit u et v deux fonctions de classe C1 sur [a, b]. On a :
$${\displaystyle \int _{a}^{b}u(x)v'(x)\,\mathrm {d} x=[uv]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,\mathrm {d} x}$$
Exemple
Effectuons le calcul de : $${\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{3}}x\cos x\,\mathrm {d} x}$$
Pour cela, posons u(x) = x, de telle sorte que u' = 1, et v' = cos, . Il vient :$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\frac {\pi }{3}}x\cos x\,\mathrm {d} x&=\left[u(x)v(x)\right]_{0}^
{\frac {\pi }{3}}-\int _{0}^{\frac {\pi }{3}}u'(x)v(x)\,\mathrm {d} x\\&=\left[x\sin x\right]_{0}^{\frac {\pi }{3}}-\int _{0}^{\frac
{\pi }{3}}\sin(x)\,\mathrm {d} x\\&={\frac {\pi {\sqrt {3}}}{6}}+\left[\cos x\right]_{0}^{\frac {\pi }{3}}\\&={\frac {\pi {\sqrt {3}}}
{6}}-{\frac {1}{2}}.\end{aligned}}}$$
Soit f une fonction continue . Soit aussi u une fonction de classe C1
(c'est-à-dire dérivable et dont la dérivée est continue) sur l’intervalle [a, b]
dont l'image par u est contenue dans le domaine de définition de f
On a:
$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(u(t))u '(t)~\mathrm {d} t=\int _{u(a)}^{u(b)}f(x)~\mathrm {d} x}$$
| Primitive | Fonction |
|---|---|
| $e^{ax}$ | $a\times e^{ax}$ |
| $\ln(x)$ | $\frac{1}{x}$ |
| $x^{a}$ | $a \times x^{a-1}$ |
| $\sqrt{x}$ | $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ |
| $\cos(x)$ | $-\sin(x)$ |
| $\sin(x)$ | $\cos(x)$ |
| $\tan(x)$ | $1+\tan(x)^{2}$ |
| $\csc(x) = \frac{1}{\sin(x)}$ | $-\cot(x)\times\csc(x)$ |
| $\sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}$ | $-\tan(x)\times\sec(x)$ |
| $\cot(x) = \frac{1}{\tan(x)}$ | $-\frac{1}{\sin(x)^{2}}$ |
| $\sinh(x)$ | $\cosh(x)$ |
| $\cosh(x)$ | $\sinh(x)$ |
| $\tanh(x)$ | $\frac{1}{\cosh(x)^{2}}$ |
| $\coth(x)$ | $\frac{1}{\sinh(x)^{2}}$ |
| $\tan(x)$ | $1+\tan(x)^{2}$ |
| $\arcsin(x)$ | $\frac{1}{\sqrt{-x^{2}+1}}$ |
| $\arccos(x)$ | $-\frac{1}{\sqrt{-x^{2}+1}}$ |
| $\arctan(x)$ | $\frac{1}{x^{2}+1}$ |
| Fonction | Dérivée |
|---|---|
| $f+g$ | $f'+g'$ |
| $f \times g$ | $f'\times g + f\times g' $ |
| $\frac{f}{g}$ | $\frac{f'\times g-f\times g'}{g^{2}}$ |
| $g o f$ | $f' \times g' o f$ |
| $(g \times f)^{n}$ | $\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}f^{(k)}\times g^{(n-k)}$ |
| $(f^{-1})$ | $\frac{1}{f'of^{-1}}$ |
| $\frac{1}{u}$ | $-\frac{u'}{u^{2}}$ |
| $u^{a}$ | $a\times u' \times u^{a-1}$ |
| $\sqrt{u}$ | $ \frac{u'}{2\sqrt{u}}$ |
| $e^{u}$ | $u'\times e^{u}$ |
| $\ln(u)$ | $\frac{u'}{u}$ |
| $\sin(au+b)$ | $u'\times\cos(au+b) $ |
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