La loi de distribution normale ou fonction densité de probabilité s'écrit sous la forme :
$$f(x) := \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} }$$
Cet outil vous permettra de simuler la loi normale très utilisée en probabilités en ligne.
P(180 ≤ X ≤ 200) = $4.819994973 \cdot 10^{-8}$
Soient m $∈ R$ et σ $∈ R∗+$. On dit qu'une variable aléatoire X suit la loi normale de paramètres m et $σ^2$ si sa densité est donnée par:
$$\forall x∈R \quad f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} }$$
Cette loi est également appelée loi gaussienne. On note $X ∼ N(m,σ^2)$
On a
$$E(X)=m, V(X)=σ^2$$ Avec E l'espérance et V la variance
Si m = 0, on parle de loi normale centrée réduite ou N(0,1).
Cette image illustre la loi normale centrée réduite
La loi normale intervient dans le théorème central limite. Pour résumer, ce théorème affirme que la loi d'une somme de variables indépendantes de même loi est proche (quand le nombre de variables aléatoires est grand) d'une loi normale. Par exemple, la loi binomiale $B(n, p)$ est très proche, pour n grand de la loi normale $N (np, np(1 − p)).$
Je vous invite à savoir plus sur la loi binomiale dans ce lien :Loi binomiale
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